¿Cómo cambiar la IP?

Puedes cambiar la IP de una forma temporal o permanente, según convenga. El cambio temporal es más fácil y más probable que funcione. Prueba el cambio permanente sólo si el otro no te sirve.

Cambiarla de forma temporal

Consigues que los sitios web donde entras "crean" que tienes una IP distinta de la tuya sin necesidad de cambiarla de verdad. Lo que haces es esconderla bajo una IP falsa.
Ve cómo esconder tu IP usando un proxy web o de software.

Cambiarla de forma (más) permanente

Antes de nada averigua cuál es tu IP actual y apúntatela en algún sitio. Así podrás saber luego si has conseguido o no cambiarla. Prueba estos métodos en el orden en que los pongo. Incluyo varios porque ninguno de ellos funciona en todos los casos.

Método 1: Apagar el modem o router
El modem o el router es el dispositivo que permite que tu PC tenga acceso a Internet. Estará conectado a una toma en la pared que puede ser la del teléfono, la conexión por ADSL, cable, etc.

Desconecta el modem/router usando el botón de apagado/encendido que suele tener. Si en el tuyo no hay ese botón, desenchúfalo de la corriente.
Deja el moden/router apagado durante un par de minutos. Luego enciéndelo otra vez.
Es probable que tarde un poco en funcionar el acceso a Internet, hasta que el modem/router se reinicie del todo. Cuando vuelvas a conseguir entrar en Internet, sigue el enlace que he puesto arriba para saber cuál es tu IP.

Compara tu IP actual con la que has apuntado antes y ve si es distinta. Si sigue siendo igual puedes hacer dos cosas: probar el siguiente método o volver a apagar el modem/router durante más tiempo (como mínimo durante una noche entera).

Método 2: Liberar y renovar la IP
Eso puede conseguir cambiarla por otra si estás conectado de forma directa a Internet a través de un modem telefónico (dial-up), ADSL, de cable, etc.

Entra en la consola de MS-Dos siguiendo las instrucciones según tu versión de Windows...
Windows 7

Entra en el menú Inicio de Windows.

Escribe cmd en el campo de búsqueda de abajo y pulsa Intro en tu teclado. Salta al paso 2 de abajo.
Windows XP

Abre el menú Inicio y pincha en Ejecutar abajo a la derecha.

Escribe cmd en la ventana que se abre y pulsa el botón Aceptar (o Intro en el teclado). Ve al paso 2 de más abajo.
Windows 8, 8.1 o Windows 10

Pincha con el botón DERECHO en el menú Inicio de Windows y elige Símbolo del sistema. Sigue en el paso 2 de más abajo.
Windows Vista

Abre el menú Inicio y pincha en Todos los programas y luego en Accesorios.

Busca dentro Símbolo del sistema. Haz clic encima con el botón DERECHO y elige Ejecutar como administrador.

Confirma en el aviso que quieres Continuar. Sigue leyendo.
En todos los casos se abre una sesión de MS-Dos (ve la imagen de arriba). Escribe en la ventana: ipconfig /release (y pulsa Intro) NOTA: No te olvides de que hay un espacio antes de la barra (/). Saldrán unos datos que no te interesan. Cuando acaben y vuelva a mostrarse el cursor parpadeante de antes, escribe: ipconfig /renew (y vuelve a pulsar Intro)
Verás más datos que aparecen. Espera a que salga otra vez el cursor. Luego ya puedes cerrar la ventana de MS-Dos.

Comprueba otra vez cuál es tu IP con el enlace que incluyo arriba y ve si ha cambiado.

Método 3: Configurar un proxy
Esto cambia tu IP por la del proxy que sea, que hace como una especie de barrera entre tu PC y los sitios web a que te conectas.

Sigue este enlace para encontrar un proxy anónimo si no sabes cuál usar.
Configura el proxy para Google Chrome, Firefox o Explorer.
Tras configurar el proxy, ve de nuevo cuál es tu IP mediante el enlace que he puesto arriba. Comprueba si es distinta (ahora debe ser la del proxy y no la que tú tenías antes). IMPORTANTE: Lee estas precauciones al usar un proxy antes de decidir si utilizarlo o no. Sobre todo si piensas hacerlo de forma permanente, porque puede implicar ciertos riesgos más o menos graves.

Método 4: Ponte en contacto con tu ISP
Tu ISP es la empresa que te da el servicio de acceso a Internet.

Ponte en contacto con ella para intentar que cambien tu IP si no es válido para ti ninguno de los métodos anteriores.